ARDI KUSNADI

Rabu, 19 Juni 2019

Rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama Barisan aritmetika bertingkat

Apa itu barisan Aritmetika?!
Barisan aritmetika adalah barisan yang memiliki beda yang sama antara suku ke-n dan suku ke-n+1.

Contoh barisan Aritmetika
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ...
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ...
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, ...


Bagaimana rumus suku ke-n dan rumus jumlah n suku pertama pada barisan Aritmetika?!
Ya, sebagaimana yg diketahui bahwa untuk menentukan suku ke-n dengan rumus Un = a + (n - 1)b dan jumlah n suku pertama dengan rumus Sn = n/2[2a + (n - 1)b]

Misalnya, tentukan suku ke-50 dan jumlah 30 suku pertama pada barisan
1, 5, 9, 13, 17, ...
Jawab :
Diketahui : suku pertama = U1 = a = 1
Beda = b = 5 - 1 = 4
Ditanya : U50 dan S30 = ??
Un = a + (n - 1)b = 1 +(n - 1)4 = 4n - 3
Sn = n/2[2a + (n - 1)b] = n/2[2×1 + (n - 1)4] = n/2[2 + 4n - 4] = n/2(4n - 2) = n(2n - 1)

Jadi suku ke-50 adalah U50 = 4(50) - 3 = 200 - 3 = 197 sedangkan jumlah 30 suku pertama  adalah S30 = 30(2×30 - 1) = 30(60 - 1) = 30(59) = 1770

Nah sekarang bagaimana menentukan rumus suku ke-n atau rumus jumlah n suku pertama jika barisan aritmetika bertingkat..
Contohnya :
1. 0, 2, 5, 9, 14, 20, 27, ...
Tentukan suku ke-50 dan jumlah 20 suku pertama !
2. Tentukan suku ke-30 dan jumlah 20 suku pertama dari 2,5,9,16,28,47,75,...

Rumus suku ke - n barisan aritmetika bertingkat adalah
Un = a + b(n - 1) + c(n - 1)(n - 2)/2! + d(n - 1)(n - 2)(n - 3)/3! + e(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)/4! + ...
Tergantung tingkat berapa,,
Makanya kalau cuma barisan aritmetika biasa, rumus Un adalah a + (n - 1)b

Rumus jumlah n suku pertama barisan aritmetika bertingkat
Sn = an + bn(n - 1)/2! + cn(n - 1)(n - 2)/3! + dn(n - 1)(n - 2)(n - 3)/4! + en(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)/5! + ...
Tergantung tingkat berapa,,
Makanya kalau cuma barisan aritmetika biasa, rumus Sn adalah  an + bn(n - 1)/2
= [2an + bn(n - 1)]/2
= n/2[2a + (n - 1)b]

Maka jawaban soal no.1 diatas adalah
1. 0, 2, 5, 9, 14, 20, 27, ...
beda1 = 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
beda2 = 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
a = 0, b = 2, c = 1

Un = a + b(n - 1) + c(n - 1)(n - 2)/2
Un = 0 + 2(n - 1) + 1(n - 1)(n - 2)/2
Un =  2n - 2 + ½n² - 3/2n + 1
Un = ½n² + ½n - 1
Un = (n² + n - 2)/2

U(1) = (1+1-2)/2 = 0
U(2) = (4+2-2)/2 = 2
U(3) = (9+3-2)/2 = 5
U(4) = (16+4-2)/2 = 9
U(50) = (2500+50-2)/2 = 1274
atau
Un = 2(n - 1) + 1(n - 1)(n - 2)/2
U1 = 2(1 - 1) + (1 - 1)(1 - 2)/2 = 0 + 0 = 0
U2 = 2(2 - 1) + (2 - 1)(2 - 2)/2 = 2 + 0 = 2
U3 = 2(3 - 1) + (3 - 1)(3 - 2)/2 = 4 + 1 = 5
U(4) = 2(4 - 1) + (4 - 1)(4 - 2)/2 = 6 + 3 = 9
Jadi U50 = 2(50 - 1) + (50 - 1)(50 -2)/2
= 98 + 1176 = 1274

Sn = an + bn(n - 1)/2 + cn(n - 1)(n - 2)/6
Sn = 0n + 2n(n - 1)/2 + n(n - 1)(n - 2)/6
Sn = 0 + n² - n + 1/6n³ - ½n² + ⅓n
Sn = 1/6n³ + ½n² - ⅔n
Sn = (n³ + 3n² -4n)/6

S(1) = (1+3-4)/6 = 0
S(2) = (8+12-8)/6 = 2
S(3) = (27+27-12)/6 = 7
S(4) = (64+48-16)/6 = 16
S(20) = (8000+1200-80)/6 = 1520
atau
Sn = n(n - 1) + n(n - 1)(n - 2)/6
S1 = (1)(1 - 1) + (1)(1 - 1)(1 - 2)/6 = 0 + 0 = 0
S2 = (2)(2 - 1) + (2)(2 - 1)(2 - 2)/6 = 2 + 0 = 2
S3 = (3)(3 - 1) + (3)(3 - 1)(3 - 2)/6 = 6 + 1 = 7
S4 = (4)(4 - 1) + (4)(4 - 1)(4 - 2)/6 = 12 + 4 = 16
Jadi S20 = (20)(20 - 1) + (20)(20 - 1)(20 - 2)/6
= 380 + 1140 = 1520

Nah, silahkan coba utk mencari soal no. 2 diatas

SEMOGA BERMANFAAT

4 komentar:

TERIMAKASIH ATAS KUNJUNGANNYA

SAMISANOV Menjelajah Negeri