.png)
A. Apa itu vektor?
Vektor adalah besaran yang memiliki besar (magnitude) dan arah. Vektor biasa dilambangkan dengan huruf tebal atau dengan panah di atas huruf, misal \( \vec{v} \). Contoh vektor: kecepatan (10 m/s ke utara), gaya, dan perpindahan.
B. Notasi & bentuk
- Dalam koordinat 2D, vektor \( \vec{a} = (a_x, a_y) \).
- Dalam 3D, vektor \( \vec{b} = (b_x, b_y, b_z) \).
- Besar (norma) vektor: \( ||\vec{a}|| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} \) untuk 2D.
- Dalam 3D, besar (norma) vektor: \( ||\vec{b}|| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} \)
C. Operasi dasar
1. Penjumlahan
Untuk \( \vec{u} = (u_x,u_y) \) dan \( \vec{v} = (v_x,v_y) \):
\( \vec{u} + \vec{v} = (u_x+v_x, u_y+v_y) \).
2. Pengurangan
\( \vec{u} - \vec{v} = (u_x-v_x, u_y-v_y) \).
3. Perkalian skalar
Untuk skalar \( k \): \( k \vec{v} = (k v_x, k v_y) \). Mengubah besar dan/atau arah (jika \( k < 0 \) arah berbalik).
4. Dot product (hasil titik)
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y \). Gunanya untuk mencari sudut: \( \vec{u} \cdot \vec{v} = ||u|| ||v|| \cos \theta \).
5. Cross product (3D)
Untuk vektor 3D \(\vec{u} = (u_x,u_y,u_z)\) dan \(\vec{v} = (v_x,v_y,v_z)\), cross product adalah vektor tegak lurus keduanya:
\[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix} \]Langkah perhitungan:
- Hitung komponen x: \( (u_y*v_z - u_z*v_y) \)
- Hitung komponen y: \( -(u_x*v_z - u_z*v_x) \)
- Hitung komponen z: \( (u_x*v_y - u_y*v_x) \)
a × b = | i j k |
| 1 0 2 |
| 0 1 1 |
= i*(0*1 - 2*1) - j*(1*1 - 2*0) + k*(1*1 - 0*0)
= (-2, -1, 1)
Hasilnya adalah vektor \(\vec{c} = (-2, -1, 1)\), tegak lurus ke \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\).
D. Contoh langkah demi langkah
- Jumlah: \( \vec{a}+\vec{b} = (3+(-1),2+4) = (2,6) \).
- Besar \( \vec{a} \): \( ||\vec{a}|| = \sqrt{3^2+2^2}= \sqrt{13} \).
- Dot product: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 3\cdot(-1)+2\cdot4 = -3+8 = 5 \).
E. Visualisasi interaktif (sederhana)
Geser nilai vektor berikut (maksimal ±10) untuk melihat perubahan posisi pada grafik.
F. Soal Latihan
- Diberi \( \vec{u}=(2, -1) \) dan \( \vec{v}=(1,3) \). Hitung \( \vec{u}+\vec{v} \), \( ||\vec{u}|| \), dan \( \vec{u}\cdot\vec{v} \).
- Skalar \( k = -2 \). Hitung \( k\vec{v} \) untuk \( \vec{v}=(4,0,-3) \).
- Di ruang 3D, hitung \( \vec{a} \times \vec{b} \) untuk \( \vec{a}=(1,0,2) \), \( \vec{b}=(0,1,1) \).
- \( \vec{u}+\vec{v}=(3,2), ||\vec{u}||=\sqrt{5}, \vec{u}\cdot\vec{v}=-1 \).
- \( k\vec{v}=(-8,0,6) \).
- \( \vec{a} \times \vec{b} = (-2,-1,1) \).
G. Tips & Aplikasi
- Vektor banyak digunakan di fisika (gaya, kecepatan) dan grafika komputer (posisi, arah kamera).
- Perhatikan tanda negatif: arah terbalik, magnitudo selalu non-negatif.
