Vektor

Pengantar Vektor — Definisi, Operasi, dan Contoh

Ringkasan materi vektor untuk siswa SMA dan mahasiswa awal, lengkap dengan contoh terapan, soal latihan, dan kunci jawaban.

A. Apa itu vektor?

Vektor adalah besaran yang memiliki besar (magnitude) dan arah. Vektor biasa dilambangkan dengan huruf tebal atau dengan panah di atas huruf, misal \( \vec{v} \). Contoh vektor: kecepatan (10 m/s ke utara), gaya, dan perpindahan.

B. Notasi & bentuk

• Dalam koordinat 2D, vektor \( \vec{a} = (a_x, a_y) \).
• Dalam 3D, vektor \( \vec{b} = (b_x, b_y, b_z) \).
• Besar (norma) vektor: \( ||\vec{a}|| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} \) untuk 2D.
• Dalam 3D, besar (norma) vektor: \( ||\vec{b}|| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} \)

C. Operasi dasar

1. Penjumlahan

Untuk \( \vec{u} = (u_x,u_y) \) dan \( \vec{v} = (v_x,v_y) \):
\( \vec{u} + \vec{v} = (u_x+v_x, u_y+v_y) \).

2. Pengurangan

\( \vec{u} - \vec{v} = (u_x-v_x, u_y-v_y) \).

3. Perkalian skalar

Untuk skalar \( k \): \( k \vec{v} = (k v_x, k v_y) \). Mengubah besar dan/atau arah (jika \( k < 0 \) arah berbalik).

4. Dot product (hasil titik)

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y \). Gunanya untuk mencari sudut: \( \vec{u} \cdot \vec{v} = ||u|| ||v|| \cos \theta \).

5. Cross product (3D)

Untuk vektor 3D \(\vec{u} = (u_x,u_y,u_z)\) dan \(\vec{v} = (v_x,v_y,v_z)\), cross product adalah vektor tegak lurus keduanya:

\[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix} \]

Langkah perhitungan:

1. Hitung komponen x: \( (u_y*v_z - u_z*v_y) \)
2. Hitung komponen y: \( -(u_x*v_z - u_z*v_x) \)
3. Hitung komponen z: \( (u_x*v_y - u_y*v_x) \)

Contoh: \(\vec{a} = (1,0,2), \vec{b} = (0,1,1)\)

a × b = | i   j   k |
        | 1   0   2 |
        | 0   1   1 |

= i*(0*1 - 2*1) - j*(1*1 - 2*0) + k*(1*1 - 0*0)
= (-2, -1, 1)

Hasilnya adalah vektor \(\vec{c} = (-2, -1, 1)\), tegak lurus ke \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\).

D. Contoh langkah demi langkah

Contoh 1. Diberi \( \vec{a} = (3,2) \) dan \( \vec{b} = (-1,4) \).

1. Jumlah: \( \vec{a}+\vec{b} = (3+(-1),2+4) = (2,6) \).
2. Besar \( \vec{a} \): \( ||\vec{a}|| = \sqrt{3^2+2^2}= \sqrt{13} \).
3. Dot product: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 3\cdot(-1)+2\cdot4 = -3+8 = 5 \).

E. Visualisasi interaktif (sederhana)

Geser nilai vektor berikut (maksimal ±10) untuk melihat perubahan posisi pada grafik.

a = ( , )
b = ( , )

F. Soal Latihan

1. Diberi \( \vec{u}=(2, -1) \) dan \( \vec{v}=(1,3) \). Hitung \( \vec{u}+\vec{v} \), \( ||\vec{u}|| \), dan \( \vec{u}\cdot\vec{v} \).
2. Skalar \( k = -2 \). Hitung \( k\vec{v} \) untuk \( \vec{v}=(4,0,-3) \).
3. Di ruang 3D, hitung \( \vec{a} \times \vec{b} \) untuk \( \vec{a}=(1,0,2) \), \( \vec{b}=(0,1,1) \).

Kunci Jawaban (singkat)

1. \( \vec{u}+\vec{v}=(3,2), ||\vec{u}||=\sqrt{5}, \vec{u}\cdot\vec{v}=-1 \).
2. \( k\vec{v}=(-8,0,6) \).
3. \( \vec{a} \times \vec{b} = (-2,-1,1) \).

G. Tips & Aplikasi

• Vektor banyak digunakan di fisika (gaya, kecepatan) dan grafika komputer (posisi, arah kamera).
• Perhatikan tanda negatif: arah terbalik, magnitudo selalu non-negatif.

Materi vektor — disiapkan otomatis. © 2025