Definisi Vektor, Panjang Vektor, Vektor Posisi, Vektor Satuan, dan Kesamaan Vektor
Vektor merupakan suatu materi yang sering dijumpai di pelajaran matematika dan fisika. Vektor bisa direpresentasikan di \(\mathbb{R}^2\) maupun di \(\mathbb{R}^3\). Jika di \(\mathbb{R}^2\), vektor bisa disajikan dalam bentuk: \( xi + yj \), \( (x, y) \), atau \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \). Begitu pula di \(\mathbb{R}^3\), vektor bisa ditulis sebagai \( xi + yj + zk \), \( (x, y, z) \), atau \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\). Jika vektor disajikan dalam koordinat, akan diperoleh bentuk baris: \( (x, y) \) di \(\mathbb{R}^2\) atau \( (x, y, z) \) di \(\mathbb{R}^3\).
Dalam membentuk suatu vektor dapat dibuat dari dua buah titik, misal ada sebuah titik \( A(m,n) \) dan \(B(o,p) \) maka vektor \(\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA}\) karena memiliki titik ujung dan pangkal yang berbeda, Untuk lebih jelasnya berikut akan disajikan beberapa hal penting mengenai konsep vektor
Definisi Vektor
Vektor dalam matematika adalah ruas garis berarah yang panjangnya adalah jarak dari titik pangkal ke titik ujung dan arahnya adalah arah dari pangkal ke ujung atau perpanjangannya. Nama vektor bisa diberikan nama huruf kecil, atau bisa juga dengan \(\overrightarrow{AB}\) di mana A adalah pangkal (titik awal) dan B adalah ujung (titik akhir). Sehingga Jika diketahui titik \(A(m,n)\) dan \(B(o,p)\) maka vektor \(\overrightarrow{AB}=B-A=(o-m,p-n)\), hal ini bisa diperumumkan untuk vektor di R3
Panjang Vektor
Jika diketahui sebuah vektor \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\), maka panjang vektornya diperoleh dengan cara \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{x^2+y^2}\), Namun jika vektor \(\overrightarrow{AB}\) dengan titik \(A(m,n)\) dan \(B(o,p)\) maka panjang vektornya adalah \(\sqrt{(o-m)^2+(p-n)^2}\)
Vektor Posisi
Vektor posisi adalah sebuah vektor yang titik pangkalnya ada di titik asal \((O)\). Misal jika diketahui titik \(A(x_1,y_1)\) maka vektor \(\overrightarrow{OA}=(x_1,y_1)\)
Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang satu satuan serta memiliki arah yang sama dengan vektor awalnya. Setiap vektor yang bukan vektor nol memiliki vektor satuan, dimana jika diketahui vektor \(\overrightarrow{OA}=(x_1,y_1)\), maka vektor satuannya diperoleh dengan cara
\(\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}\)
Kesamaan Vektor
Dua atau lebih vektor dikatakan sama jika vektor tersebut mempunyai besar dan arah yang sama. Arah vektor dapat di balik dengan cara mengalikan negatif, dan jika dua vektor atau lebih memiliki arah yang sama dan besar entrinya berkelipatan, maka vektor tersebut dapat dikatakan sebagai vektor yang sejajar.
jika susah dalam memahami penjelasan di atas, silahkan simak penjelasan berikut
Untuk lebih memperdalam pemahaman mengenai materi di atas, berikut disajikan beberapa contoh dan latihan soal yang bisa dicoba. Silahkan coba sendiri terlebih dulu setiap permasalahan yang diberikan sebelum melihat dan memahami pembahasannya. Sehingga jika sudah memahaminya bisa mengerjakan latihan soal secara mandiri.
Contoh Soal
Soal No 1
Jika diketahui titik \(A(1, 2, 3)\) dan \(B(-2, 4, 5)\) yang ada di \(\mathbb{R}^3\), maka temukanlah vektor
a. \(\overrightarrow{AB}\)
b. \(\overrightarrow{BA}\)
Ingatlah jika diminta untuk menemukan vektor \(AB\) maka titik \(A\) adalah pangkal dan \(B\) adalah titik ujungnya, maka
untuk jawaban a adalah
\(\begin{aligned}
\overrightarrow{AB} &= B-A \\
&= (-2-1, 4-2, 5-3) \\
&= (-3, 2, 2)
\end{aligned}\)
untuk jawaban b adalah
\(\begin{aligned}
\overrightarrow{BA} &= A-B \\
&= (1-(-2), 2-4, 3-5) \\
&= (3, -2, -2)
\end{aligned}\)
dari kedua jawaban di atas, cobalah berpikir hubungan apa yang bisa disimpulkan
Soal No 2
Jika diketahui titik \(P(2,-3)\) dan \(Q(-3,4)\) yang ada di \(\mathbb{R}^2\), maka temukanlah panjang vektor \(\overrightarrow{PQ}\) ....
Sebelum menjawab soal tersebut, maka haruslah dicari dulu vektor \(\overrightarrow{PQ}\) dengan cara
\(\begin{aligned}
\overrightarrow{PQ} &= Q - P \\
&= (-3-2, 4-(-3)) \\
&= (-5, 7)
\end{aligned}\)
maka panjang vektor \(|\overrightarrow{PQ}|\) diperoleh sesuai rumus di atas yaitu
\(\begin{aligned}
|\overrightarrow{PQ}| &= \sqrt{(-5)^2+7^2} \\
&= \sqrt{25+49} \\
&= \sqrt{74}
\end{aligned}\)
maka panjang vektor \(|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{74}\)
Soal No 3
Jika diketahui titik \(P(1,2,-3)\) dan \(Q(4,-3,4)\) yang ada di \(\mathbb{R}^3\), maka temukanlah panjang vektor \(\overrightarrow{QP}\) ....
panjang vektor \(\overrightarrow{QP}\) dapat dicari dengan cara menemukan vektor \(\overrightarrow{QP}\) terlebih dahulu baru temukan panjangnya. atau bisa juga dengan cara langsung seperti berikut ini.
\(\begin{aligned}
|\overrightarrow{QP}| &= \sqrt{(4-1)^2+(-3-2)^2+(4-(-3))^2} \\
&= \sqrt{3^2+(-5)^2+7^2}\\
&= \sqrt{9+25+49} \\
&= \sqrt{83}
\end{aligned}\)
Soal No 4
Jika diketahui titik \(A(2,-2,4)\), maka temukan vektor posisinya... .
Vektor posisi adalah vektor yang titik pangkalnya ada di titik asal sehingga vektor posisi dari titik \(A\) yang dimaksud adalah
\(\begin{aligned}
\overrightarrow{OA} &= (2-0,-2-0,4-0) \\
&= (2,-2,4) \\
\end{aligned}\)
Soal No 5
Jika diketahui titik \(A(2,-2,4)\), dan titik \(B(4,-2,2)\) maka temukan vektor satuan dari vektor \(\overrightarrow{AB}\) ....
vektor satuan \(\overrightarrow{AB}\) dapat ditemukan dengan rumus.
\(\begin{aligned}
&= \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} \\
&= \frac{(4-2,-2-(-2),2-4)}{\sqrt{(4-2)^2+(-2-(-2))^2+(2-4)^2}} \\
&= \frac{(2,0,-2)}{\sqrt{(2)^2+(0)^2+(-2)^2}} \\
&= \frac{(2,0,-2)}{\sqrt{8}} \\
&= \frac{(2,0,-2)}{2\sqrt{2}} \\
&= \left(\tfrac{2}{2\sqrt{2}},\,0,\,\tfrac{-2}{2\sqrt{2}}\right) \\
&= \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)
\end{aligned}\)
atau bisa juga disajikan dalam bentuk \(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,\mathbf{i} - \tfrac{1}{\sqrt{2}}\,\mathbf{k}\)
Soal No 6
Perhatikan gambar berikut !
Manakah vektor yang
a. besarnya sama tetapi arahnya berbeda
b. arahnya sama tetapi besarnya berbeda
c. besar dan arahnya sama
d. besar dan arahnya berbeda
e. searah dengan vektor \(\overrightarrow{e}\)
f. negatif dari vektor \(\overrightarrow{c}\)
Berikut diberikan beberapa contoh jawaban yang sesuai dengan pernyataan.
Jawaban a. \(\overrightarrow{a}\) dengan \(\overrightarrow{c}\) atau \(\overrightarrow{c}\) dengan \(\overrightarrow{f}\)
Jawaban b. Tidak ada
Jawaban c. \(\overrightarrow{a}\) dengan \(\overrightarrow{f}\)
Jawaban d. \(\overrightarrow{a}\) dengan \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{a}\) dengan \(\overrightarrow{e}\), \(\overrightarrow{d}\) dengan \(\overrightarrow{e}\), dll
Jawaban e. tidak ada
Jawaban f. \(\overrightarrow{a}\) atau \(\overrightarrow{f}\)
Cobalah menemukan jawaban lain yang menurutmu relevan dengan syarat yang diberikan oleh soalnya..
Soal No 7
Jika diketahui titik \(A(1,2,-3)\) dan \(B(4,-3,4)\) yang ada di \(\mathbb{R}^3\), maka jika vektor \(\overrightarrow{AB}\) sama dengan vektor \(\overrightarrow{c}=pi-qj+rk\), maka nilai dari \(p+q+r\) adalah... .
Untuk menjawab soal berikut maka temukan lebih dulu nilai dari vektor \(\overrightarrow{AB}\) dengan cara
\(\begin{aligned}
\overrightarrow{AB} &= (4-1,-3-2,4-(-3)) \\
&= (3,-5,7) \\
\end{aligned}\)
karena vektor \(\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{c}\) maka nilai koefisien \(i,j\) dan \(k\) akan sama. sehingga haruslah
\(p=3\)
\(-q=-5\) maka \(q=5\)
\(r=7\)
maka nilai dari \(p+q+r = 3+5+7 = 15\)
Soal No 8
Jika diketahui titik \(A(0,q,3)\) dan \(B(5,2,r)\) yang ada di \(\mathbb{R}^3\), maka jika vektor \(\overrightarrow{AB}\) sama dengan vektor \(\overrightarrow{c}=5i+qj+2k\), maka nilai dari \(q^2-r\) adalah... .
temukan dulu nilai dari vektor \(\overrightarrow{AB}\) dengan cara
\(\begin{aligned}
\overrightarrow{AB} &= (5-0,2-q,r-3) \\
&= (5,2-q,r-3) \\
\end{aligned}\)
kemudian karena \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{c}\) maka nilai koefisien \(i,j,k\) yang bersesuaikan akan sama sehingga.
\(2-q=q\)
\(2q=2\)
\(q=1\)
\(r-3=2\)
\(r=5\)
maka nilai dari \(q^2-r\) adalah
\(=1^2-5=-4\)
.png)
