Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMP

Contoh Soal & Pembahasan Olimpiade Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota

Berikut ini contoh soal & pembahasan olimpiade matematika SMP tingkat Kabupaten/Kota untuk latihan agar terbiasa dengan tipe soal olimpiade dan penyelesaiannya.

1.Berapa digit terakhir dari (2002)²⁰⁰²

a. 4
b. 2
c. 8
d. 0
e. 1

2. Suatu pentagon mempunyai sudut-sudut yang sama. Pentagon seperti pada gambar dikelilingi oleh lima persegi dan lima segitiga. Berapakah besar sudut x pada pentagon seperti yang diperlihatkan pada gambar?

a. 75°

b. 108°

c. 90°

d. 72°

e. 95°

3. Jika a, b, dan c adalah tiga biilangan bulat positif berbeda yang memenuhi abc = 16, berapakah nilai terbesar yang mungkin dari a^b – b^c + c^a?

a. 253

b. 63

c. 249

d. 263

e. 200

4. Seseorang pengendara mobil dalam suatu perjalanan, mempunyai catatan jarak(km) dan waktu (jam) yang ditempuh sebagai berikut.

Waktu	07.30	08.00	08.30	09.00	09.30	10.00
Jarak	0	60	100	100	150	200

Berapakah kecepatan rata-rata mobil tersebut?

a. 40 km/jam

b. 60 km/jam

c. 80 km/jam

d. 35 km/jam

e. 30 km/jam

5. Jika diberikan suatu barisan bilangan 3, 5, 9, 15, 23, …, berapakah suku ke-16?

a. 212

b. 243

c. 214

d. 178

e. 170

6. Dua puluh empat anak dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam 90 jam. Setelah mereka bekerja selama 46 jam, mereka istirahat selama 12 jam. Jika pekerjaan tersebut harus selesai pada waktunya, berapa banyak anak harus ditambah?

a. 6

b. 9

c. 11

d. 5

e. 7

7. Jika X = {a, b, c} dan Y = {1,2} maka himpunan pasangan berurutan dari X × Y adalah …

a. {(2, a), (2, b), (2, c), (a, 1), (b, 1), (c, 1)}

b. {(a, 2), (b, 2), (c, 2), (1, a), (1, b), (1, c)}

c. {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}

d. {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}

e. {(a, 1), (a, 2), (b, 2), (b, 1), (c, 2), (c, 3)}

8. Perhatikan gambar roda seperti pada gambar. Panjang jari-jari roda 22 cm dan tebal roda 6 cm. Apabila roda tersebut menggelinding lurus 7 kali putaran dan p = 22/7, berapakah Panjang lintasan roda tersebut?

a. 968 cm
b. 1.137 cm
c. 1.232 cm
d. 924 cm
e. 824 cm

9. Berapakah luas daerah yang diarsir pada gambar?

a. 15/2 – 3/2 π cm²

b. 17/2 – 3/4 π cm²

c. 9/2 – 3/4 π cm²

d. 7/2 – 3/4 π cm²

e. 7/2 cm²

10. Empat bilangan pertama dari barisan bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, …

Berapakah bilangan segitiga ke-10?

a. 55

b. 45

c. 66

d. 78

e. 70

Pembahasan soal

1.Perhatikan bahwa digit terakhir dari 2002²⁰⁰² sama dengan digit terakhir dari 2²⁰⁰², Kemudian perhatikan bilangan 2ⁿ di mana n adalah bilangan asli.

2¹ = 2

2² = 4

2³ = 8

2⁴ = 16

2⁵ = 32

2⁶ = 64

Ternyata sifat dari digit terakhir pada bilangan 2ⁿ berulang dengan periode 4.

Artinya digit terakhir pada 2⁵ sama dengan digit terakhir pada 2¹, digit terakhir pada 2⁶ sama dengan digit terakhir pada 2², begitulah seterusnya.

Dengan demikian kita dapat merumuskan bahwa

Digit terakhir dari 2^{( 4k + 1 )} adalah 2,

Digit terakhir dari 2^{( 4k + 2 )} adalah 4,

Digit terakhir dari 2^{( 4k + 3 )} adalah 8 dan

Digit terakhir dari 2^{( 4k + 4 )} adalah 6.

Dimana 4k adalah kelipatan 4 untuk k = 0, 1, 2, 3, …

Kemudian karena digit terakhir dari 2002 ⁿ sama dengan digit terakhir dari 2ⁿ maka dapat disimpulkan bahwa

Digit terakhir dari 2^{( 4k + 1 )} adalah 2,

Digit terakhir dari 2^{( 4k + 2 )} adalah 4,

Digit terakhir dari 2^{( 4k + 3 )} adalah 8 dan

Digit terakhir dari 2^{( 4k + 4 )} adalah 6.

Akan dicari digit terakhir dari 2002²⁰⁰²

2002²⁰⁰² = 2002^{( 4 × 500 + 2 )}

= 2002^{( 4k + 2 )}

Jadi, digit terakhir dari 2002²⁰⁰² adalah 4

Jawaban (a)

2. Pandang segi 5 beraturan pada bangun di bawah ini!

Kita bagi bangun segi 5 di atas menjadi, 5 buah segitiga yang sama, masing-masing seperti segitiga AOB. Karena kelima segitiga tersebut sama, maka

∠ AOB = ∠ BOC

= 360⁰ /5

= 72⁰

Perhatikan bahwa segitiga AOB adalah segitiga sama kaki dimana AO = BO.

Akibatnya ∠ BAO = ∠ ABO

= 180⁰ – 72⁰

= 54⁰

Oleh karena itu ∠ OBC = 54⁰

∠ ABO + ∠ OBC + ∠ ABD + ∠ CBE + ∠ X = 360⁰

54⁰ + 54⁰ + 90⁰ + 90⁰ + ∠ X = 360⁰

288⁰ + ∠ X = 360⁰

∠ X = 360⁰ – 288⁰

= 72⁰

Jawaban (d)

3. Jika abc = 16 dan a, b dan c adalah bilangan bulat positif (bilangan asli) yang berbeda, maka a, b dan c masing-masing haruslah merupakan faktor positif yang berbeda dari 16.

Jadi, bilangan-bilangan yang dipebolehkan untuk a, b dan c adalah faktor positif dari 16 yaitu 1, 2, 4, 8 dan 16.

Tabel berikut adalah daftar semua kemungkinan a, b dan c yang berbeda sehingga abc = 16.

a	b	c	ab	bc	ca	ab – bc + ca
1	2	8	1	256	8	-247
1	8	2	1	64	2	-61
2	1	8	2	1	64	65
2	8	1	256	8	1	249
8	1	2	8	1	256	263
8	2	1	64	2	1	63

Jadi, nilai terbesar yang mungkin dari a^b – b^c + c^a adalah 263
Jawaban (d)

4. Kecepatan rata- rata = Jarak tempuh total / Waktu total

= 200 km / 2.5 jam

= 80 km/jam

Jawaban (c)

5. Sebelum membahas soal, akan dipelajari terlebih dahulu Barisan Aritmatika.

Barisan Aritmatika adalah suatu barisan yang mempunyai sifat

(Suku ke-2) – (Suku ke-1) = (Suku ke-3) – (Suku ke2) = … = (Suku ke-n) – (Suku ke-(n-1)).

(Suku ke-n) – (Suku ke-(n-1)) biasa disebut dengan b (beda).

Jika banyaknya suku ada n buah, maka Barisan Aritmatika dapat disajikan sebagai

U1 , (U1 + b) , (U1 + 2b) , … , (U1 + (n – 1)b).

Jika setiap suku pada barisan aritmatika dijumlahkan, maka akan membentuk deret aritmatika dan jumlah n suku pertamanya disebut Sn.

Misalkan Sn adalah jumlah n suku pertama dan Un adalah suku ke-n.

Secara umum, bentuk deret aritmatika adalah

Sn = U1 + U2 + … + U(n – 1) + Un

Karena selisih setiap 2 suku yang berurutan sama dan kita nyatakan selisihnya itu sebagai b atau beda, maka

U2 = U1 + b

U3 = U2 + b = (U1 + b) + b = U1 + 2b

U4 = U3 + b = (U1 + 2b) + b = U1 + 3b

Dengan melihat keteraturan di atas, kita bisa merumuskan nilai Un.

Un = U1` + (n – 1)b

Perhatikan kembali deret

Sn = U1 + U2 + … + U( n – 1 ) + Un

= U1 + (U1 + b) + … + (U1 + (n-2)b) + (U1 + (n-1)b)

Tugas kita sekarang adalah menjumlahkan setiap 2 suku dengan aturan sebagai berikut

Suku ke-1 dijumlahkan dengan suku ke-n, suku ke-2 dijumlahkan dengan suku ke-(n -1), suku ke-3 dijumlahkan dengan suku ke-(n -2) dan seterusnya.

S_n = (U1 + Un) + (U2 + U( n – 1 )) + …

Perhatikan bahwa banyaknya suku sekarang menjadi, setengah dari banyaknya suku sebelumnya. Selain itu, nilai dari setiap suku sekarang menjadi, sama yaitu sama dengan U1 + Un.

Sehingga

S_n = n/2 (U₁ + U_n)

Sekarang kita bahas soal no. 4.

Perhatikan barisan berikut ini!

Barisan di atas bukan barisan aritmatika karena bedanya tidak konstan (tetap).

Namun coba perhatikan bahwa jarak antar bedanya konstan yaitu 2.

U1 = 3

U2 = U1 + 2 = U1 + 1.2

U3 = U2 + 4 = U1 + 2 + 4 =U1 + 1.2 + 2.2

U4 = U3 + 6 = U1 + 1.2 + 2.2 + 3.2

 

Un = U1 + 1.2 + 2.2 + 3.2 + … + (n – 1).2

= 3 + [ 1.2 + 2.2 + 3.2 + … + (n – 1).2 ]

[ 1.2 + 2.2 + 3.2 + … + (n – 1).2 ] merupakan deret aritmatika dengan beda 2 dan banyak sukunya (n – 1) buah.

[ 1.2 + 2.2 + 3.2 + … + (n – 1).2 ] = [2 + 4 + 6 + … + (n – 1). 2]

= ((n -1)/2) (2+(n-1)2)

= ((n -1)/2) (2n)

= n(n-1)

Jadi, Un = 3 + n(n – 1)

= n² – n + 3

Sehingga U16 = 16² – 16 + 3

= 243

Jawaban (b)

6. Perhatikan tabel di bawah ini!

No	Jumlah anak	Waktu (jam)
1	24	90
2	48	45
3	12	180

Apabila kita cermati, ternyata semakin banyak jumlah anak akan semakin sedikit waktu yang diperlukan begitupun sebaliknya. Hal ini biasa disebut sebagai perbandingan berbalik nilai. Sehingga kita bisa menuliskan hubungan tabel No. 1 dan 2 sebagai berikut:

Bentuk terakhir adalah suatu pernyataan yang benar.
Kembali ke permasalahan pada soal, ke 24 anak menginginkan pekerjaan selesai tepat waktu yaitu 90 jam (termasuk waktu istirahat selama 12 jam). Karena mereka telah bekerja selama 46 jam, maka sisa waktu menyelesaikan tepat waktu adalah (90 – 46) jam = 44 jam, dengan catatan mereka tidak beristirahat.

Karena mereka beristirahat selama 12 jam, akibatnya sisa waktu menjadi, (44 – 12) jam = 32 jam, oleh karena itu harus ditambah jumlah anak.
Misalkan x adalah banyaknya anak yang ditambahkan, maka tabelnya sebagai berikut.

Jumlah anak	Waktu (jam)
24	44
24 + X	32
12	180

Menurut aturan perbandingan berbalik nilai, diperoleh:

Jadi, jumlah anak yang harus ditambahkan adalah 9 orang.
Jawaban (b)

7. Himpunan pasangan terurut dari X × Y adalah himpunan semua (x, y) di mana x ∈ X dan y ∈ Y.
Jadi, jika X = { a, b, c} dan Y = {1, 2} maka himpunan pasangan terurut dari X x Y adalah {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}
Jawaban (d)

8. Karena mempunyai ketebalan 6 cm, maka jari-jari total roda adalah (22 + 6) cm = 28 cm.
Jika roda menggelinding 7 kali putaran artinya roda tersebut menempuh jarak sejauh 7 kali keliling roda.
Misalkan K adalah keliling total roda, maka
7K = 7( 2 π r )

= 7 (2)(22/7)(28)
= 1.232
Jawaban (c)

9. Perhatikan gambar berikut ini!

Luas daerah yang diarsir = (Luas persegi ABCD) – (3 × Luas bangun I ) – (Luas Bangun II)

= [3² – 3(1/4π1²) – 1/2(1)(3)] cm²

= [9 – 3/4 π – 3/2] cm²

= [15/2 – 3/4 π] cm²

Jawaban (a)

10. Pandang barisan segitiga pada soal sebagai barisan bilangan yang setiap sukunya merupakan jumlah titik pada bilangan segitiga tersebut. Seperti pada soal No. 5, barisan 1, 3, 6, 10, … mempunyai beda yang tidak konstan, masing-masing yaitu

2, 3, 4, …, tetapi jarak antar bedanya tetap yaitu 1.

U₁ = 1

U₂ = U1 + 2 = 1 + 2

U₃ = U2 + 3 = 1 + 2 + 3

U₄ = U3 + 4 = 1 + 2 + 3 + 4

:

:

Un = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n

Bentuk terakhir di atas merupakan deret aritmatika dengan beda b = 1

Un = n/2 (1+n)

Jadi,

U₁₀ = 10/2 (1+10)

= 5 (11)

= 55

Soal ini bisa juga diselesaikan dengan solusi alternatif seperti pada soal No. 4

pilihan ganda.

Jawaban (a)