.png)
Definisi Vektor, Panjang Vektor, Vektor Posisi, Vektor Satuan, dan Kesamaan Vektor
Vektor merupakan suatu materi yang sering dijumpai di pelajaran matematika dan fisika. Vektor bisa direpresentasikan di R² maupun di R³. Jika di R², vektor bisa disajikan dalam bentuk: \( xi + yj \), \( (x, y) \), atau \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \). Begitu pula di R³, vektor bisa ditulis sebagai \( xi + yj + zk \), \( (x, y, z) \), atau \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\). Jika vektor disajikan dalam koordinat, akan diperoleh bentuk baris: \( (x, y) \) di R² atau \( (x, y, z) \) di R³.
Dalam membentuk suatu vektor dapat dibuat dari dua buah titik, misal ada sebuah titik \( A(m,n) \) dan \(B(o,p) \) maka vektor \(\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA}\) karena memiliki titik ujung dan pangkal yang berbeda, Untuk lebih jelasnya berikut akan disajikan beberapa hal penting mengenai konsep vektor
Definisi Vektor
Vektor dalam metematika adalah ruas garis berarah yang panjangnya adalah jarak dari titik pangkal ke titik ujung dan arahnya adalah arah dari pangkal ke ujung atau perpanjangannya. Nama vektor bisa diberikan nama huruf kecil, atau bisa juga dengan \(\overrightarrow{AB}\) dengan \(A\) adalah ujung dan \(B\) adalah pangkalnya. Sehingga Jika diketahui titik \(A(m,n)\) dan \(B(o,p)\) maka vektor \(\overrightarrow{AB}=B-A=(o-m,p-n)\), hal ini bisa diperumum untuk vektor di R3
Panjang Vektor
Jika diketahui sebuah vektor \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\), maka panjang vektornya diperoleh dengan cara \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{x^2+y^2}\), Namun jika vektor \(\overrightarrow{AB}\) dengan titik \(A(m,n)\) dan \(B(o,p)\) maka panjang vektornya adalah \(\sqrt{(o-m)^2+(p-n)^2}\)
Vektor Posisi
Vektor posisi adalah sebuah vektor yang titik pangkalnya ada di titik asal \((O)\). Misal jika diketahui titik \(A(x_1,y_1)\) maka vektor \(\overrightarrow{OA}=(x_1,y_1)\)
Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang satu satuan serta memiliki arah yang sama dengan vektor awalnya. Setiap vektor yang bukan vektor nol memiliki vektor satuan, dimana jika diketahui vektor \(\overrightarrow{OA}=(x_1,y_1)\), maka vektor satuannya diperoleh dengan cara
\(\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}\)
Kesamaan Vektor
Dua atau lebih vektor dikatakan sama jika vektor tersebut mempunyai besar dan arah yang sama. Arah vektor dapat di balik dengan cara mengalikan negatif, dan jika dua vektor atau lebih memiliki arah yang sama dan besar entriny berkelipatan, maka vektor tersebut dapat dikatakan sebagai vektor yng sejajar.
jika susah dalam memahami penjelasan diatas, silahkan simak penjelasan berikut
Vektor dalam metematika adalah ruas garis berarah yang panjangnya adalah jarak dari titik pangkal ke titik ujung dan arahnya adalah arah dari pangkal ke ujung atau perpanjangannya. Nama vektor bisa diberikan nama huruf kecil, atau bisa juga dengan \(\overrightarrow{AB}\) dengan \(A\) adalah ujung dan \(B\) adalah pangkalnya. Sehingga Jika diketahui titik \(A(m,n)\) dan \(B(o,p)\) maka vektor \(\overrightarrow{AB}=B-A=(o-m,p-n)\), hal ini bisa diperumum untuk vektor di R3
Panjang Vektor
Jika diketahui sebuah vektor \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\), maka panjang vektornya diperoleh dengan cara \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{x^2+y^2}\), Namun jika vektor \(\overrightarrow{AB}\) dengan titik \(A(m,n)\) dan \(B(o,p)\) maka panjang vektornya adalah \(\sqrt{(o-m)^2+(p-n)^2}\)
Vektor Posisi
Vektor posisi adalah sebuah vektor yang titik pangkalnya ada di titik asal \((O)\). Misal jika diketahui titik \(A(x_1,y_1)\) maka vektor \(\overrightarrow{OA}=(x_1,y_1)\)
Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang satu satuan serta memiliki arah yang sama dengan vektor awalnya. Setiap vektor yang bukan vektor nol memiliki vektor satuan, dimana jika diketahui vektor \(\overrightarrow{OA}=(x_1,y_1)\), maka vektor satuannya diperoleh dengan cara
\(\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}\)
Kesamaan Vektor
Dua atau lebih vektor dikatakan sama jika vektor tersebut mempunyai besar dan arah yang sama. Arah vektor dapat di balik dengan cara mengalikan negatif, dan jika dua vektor atau lebih memiliki arah yang sama dan besar entriny berkelipatan, maka vektor tersebut dapat dikatakan sebagai vektor yng sejajar.
jika susah dalam memahami penjelasan diatas, silahkan simak penjelasan berikut
Untuk lebih memperdalam pemahamam mengenai materi diatas, berikut disajikan beberapa contoh dan latihan soal yang bisa dicoba. Silahkan coba sediri terlebih dulu setiap permasalahan yang diberikan sebelum melihat dan memahami pembahasanya. Sehingga jika sudah memahaminya bisa mengerjakan latihan soal secara mandiri.
Contoh Soal
Soal No 1
Jika diketahui titik \(A(1, 2, 3)\) dan \(B(-2, 4, 5)\) yang ada di R3, maka temukanlah vektor
a. \(\overrightarrow{AB}\)
b. \(\overrightarrow{BA}\)
a. \(\overrightarrow{AB}\)
b. \(\overrightarrow{BA}\)
Ingatlah jika diminta untuk menemukan vektor \(AB\) maka titik \(A\) adalah pangkal dan \(B\) adalah titik ujungnya, maka
untuk jawaban a adalah
\(\begin{align*} \overrightarrow{AB} &= B-A \\ &= (-2-1, 4-2, 5-3) \\ &= (-3, 2, 2) \end{align*}\)
untuk jawaban b adalah
\(\begin{align*} \overrightarrow{BA} &= A-B \\ &= (1-(-2), 2-4, 3-5) \\ &= (3, -2, -2) \end{align*}\)
dari kedua jawaban diatas, cobalah berfikir hubungan apa yang bisa disimpulkan
untuk jawaban a adalah
\(\begin{align*} \overrightarrow{AB} &= B-A \\ &= (-2-1, 4-2, 5-3) \\ &= (-3, 2, 2) \end{align*}\)
untuk jawaban b adalah
\(\begin{align*} \overrightarrow{BA} &= A-B \\ &= (1-(-2), 2-4, 3-5) \\ &= (3, -2, -2) \end{align*}\)
dari kedua jawaban diatas, cobalah berfikir hubungan apa yang bisa disimpulkan
Soal No 2
Jika diketahui titik \(P(2,-3)\) dan \(Q(-3,4)\) yang ada di R2, maka temukanlah panjang vektor \(\overrightarrow{PQ}\) ....
Sebelum menjawab soal tersebut, maka haruslah dicari dulu vektor \(\overrightarrow{PQ}\) dengan cara
\(\begin{align*} \overrightarrow{PQ} &= Q - P \\ &= (-3-2, 4-(-3)) \\ &= (-5, 7) \end{align*}\)
maka panjang vektor \(|\overrightarrow{PQ}|\) diperoleh sesuai rumus diatas yaitu
\(\begin{align*} |\overrightarrow{PQ}| &= \sqrt{(-5)^2+7^2} \\ &= \sqrt{25+49} \\ &= \sqrt{74} \end{align*}\)
maka panjang vektor \(|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{74}\)
\(\begin{align*} \overrightarrow{PQ} &= Q - P \\ &= (-3-2, 4-(-3)) \\ &= (-5, 7) \end{align*}\)
maka panjang vektor \(|\overrightarrow{PQ}|\) diperoleh sesuai rumus diatas yaitu
\(\begin{align*} |\overrightarrow{PQ}| &= \sqrt{(-5)^2+7^2} \\ &= \sqrt{25+49} \\ &= \sqrt{74} \end{align*}\)
maka panjang vektor \(|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{74}\)
Soal No 3
Jika diketahui titik P(1,2,−3) dan Q(4,−3,4) yang ada di R3, maka temukanlah panjang vektor QP−→− ... .
panjang vektor QP−→− dapat dicari dengan cara menemukan vektor QP−→− terlebih dahulu baru temukan panjangnya. atau bisa juga dengan cara langsung seperti berikut ini.
|QP−→−|=(4−1)2+(−3−2)2+(4−(−3))2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=9+25+49−−−−−−−−−√=83−−√
Soal No 4
Jika diketahui titik A(2,−2,4) , maka temukan vektor posisinya... .
Vektor posisi adalah vektor yang titik pangkalnya ada di titik asal sehingga vektor posisi dari titik A yang dimaksud adalah
|OA−→−|=(2−0),(−2−0)+(4−0)=(2,−2,4)
Soal No 5
Jika diketahui titik A(2,−2,4) , dan titik B(4,−3,2) maka temukan satuan dari vektor AB−→− ... .
vektor satuan AB−→− dapat ditemukan dengan rumus.
=AB−→−|AB−→−|=(4−2,−2−(−2),2−4(4−2)2+(−2−(−2))2+(2−4)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(2,0,−2)(2)2+(0)2+(−2)2−−−−−−−−−−−−−−−√=(2,0,−28–√=(2,0,−2)22–√=222–√,0,−222–√=12–√,0,−12–√
atau bisa juga disajikan dalam bentuk12√i−12√k
atau bisa juga disajikan dalam bentuk
Soal No 6
Perhatikan gambar berikut !
Manakah vektor yang
a. besarnya sama tetapi arahnyaberbeda
b. arahnya sama tetapi besarnya berbeda
c. besar dan arahnya sama
d. besar dan arahnya berbeda
e. searah
f. negatif dari vektorc→
g. vektor satuan daria→
a. besarnya sama tetapi arahnyaberbeda
b. arahnya sama tetapi besarnya berbeda
c. besar dan arahnya sama
d. besar dan arahnya berbeda
e. searah
f. negatif dari vektor
g. vektor satuan dari
Berikut diberikan beberapa conoth jawaban yang sesuai dengan pernyataan.
Jawaban a.c→ dengan f→
Jawaban b. Tidak ada
Jawaban c.a→ dengan f→
Jawaban d.a→ dengan b→
Jawaban e.a→
Jawaban f. tidak ada
Cobalah menemukan jawaban lain yang menurutmu relevan dengan syarat yang diberikan oleh soalnya..
Jawaban a.
Jawaban b. Tidak ada
Jawaban c.
Jawaban d.
Jawaban e.
Jawaban f. tidak ada
Cobalah menemukan jawaban lain yang menurutmu relevan dengan syarat yang diberikan oleh soalnya..
Soal No 7
Jika diketahui titik A(1,2,−3) dan B(4,−3,4) yang ada di R3, maka jika vektor AB−→− sama dengan vektor c→=pi−qj+rk , maka nilai dari p+q+r adalah... .
Untuk menjawab soal berikut maka temukan lebih dulu nilai dari vektor AB−→− dengan cara
AB−→−=(4−1),(−3−2)+(4−(−3))=(3,−5,7)
maka karena vektorAB−→−=c→ maka nilai nilai koefisien i,j dan k akan sama. sehingga haruslah
p=3
q=5 dan
r=7
maka nilai darip+q+r=15
maka karena vektor
maka nilai dari
Soal No 8
Jika diketahui titik A(0,q,3) dan B(5,2,r) yang ada di R3, maka jika vektor AB−→− sama dengan vektor c→=5i+qj+2k , maka nilai dari q2−r adalah... .
temukan dulu nilai dari vektor AB−→− dengan cara
AB−→−=(5−0),(2−q)+(r−3)=(5,2−q,r−3)
kemudian karenaAB−→−=c→ maka nilai koefisien i,j,k yang bersesuaikan akan sama sehingga.
2−q=q
2q=2
q=1
r−3=2
r=5
maka nilai dariq2−r adalah
=12−5=−4
kemudian karena
maka nilai dari
